Ngoảnh lại trước, người xưa vắng vẻ
Trông về sau, quạnh quẽ người sau
(Trần Tử Ngang)

[ 1 ]
Thales xứ Milet của Hy Lạp đi đo Kim Tự Tháp Ai Cập

Nói chuyện NƯỚC thì không thể không nhắc đến tên của một người: Thales xứ Milet. Ông này lạ và tài lắm.

Thales xứ Milet sinh vào khoảng năm 624 (hoặc 625) và mất vào năm 546 trước Công nguyên. Điều này cũng phù hợp với luận cứ rằng, ông Thales ra đời trước ông Socrates (sinh năm 469, mất năm 399 trước công nguyên). Ông Thales xứ Milet chào đời ở Milet xưa thuộc về Hy Lạp – bây giờ Milet là địa phận Thổ Nhĩ Kỳ.

Ta biết ông Thales xứ Milet là một triết gia, nhà toán học, nhà thiên văn học, đạo đức, siêu hình. Ông cũng được xem là triết gia đầu tiên trong nền triết học Hy Lạp cổ đại, người đứng đầu trong bảy hiền triết của Hy Lạp và là “cha đẻ của khoa học”. Trong một chiến dịch chống lại Ba Tư, ông đã giải đáp được bài toán chiến lược nan giải để giúp quân đội của vua Lydia băng qua dòng sông lớn Halys bằng cách đào một đường hầm để làm thay đổi dòng chảy của một khúc sông. Nhờ đó con sông được chia thành hai nhánh nhỏ hơn để có thể bắc cầu qua được.

Ai học toán hình học cũng đều biết định lý Thales. Ở Việt Nam bây giờ gọi là định lý Talet trong chương trình học lớp 8 bậc trung học. Định lý ấy tóm lược như sau đây.

Định lý Thales thuận: Có một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì sẽ xuất hiện những cặp đoạn thẳng tỉ lệ trên hai cạnh được cắt đó.

Định lý Thales đảo: Định lý Thales đảo được phát biểu như sau: Khi xuất hiện một cặp cạnh tỷ lệ trên hai cạnh của một tam giác

thì sẽ xuất hiện trên hai cạnh đó một đường thẳng song song với cạnh còn lại.

Định lý Thales được ứng dụng rất nhiều vào thực tiễn. Đơn giản nhất là công việc đo đạc kích thước của một vật rộng lớn mà con người không thể đo trực tiếp. Không cần sang sông mà vẫn có thể đo khoảng cách giữa 2 bờ sông (1). Dùng mặt trời và định lý Thales để đo chiều cao vật (2).

Ứng dụng (2) này làm Thales nổi tiếng mấy ngàn năm nay qua giai thoại đo chiều cao Kim Tự Tháp Ai Cập. Giai thoại ấy như sau.

Quốc vương xứ Ai Cập thời đó hãnh diện về Kim Tự Tháp của mình, một công trình cao nhất hành tinh thời ấy. Nhưng ai hỏi là Kim Tự Tháp cao bao nhiêu thì cả vua và quần thần ai cũng… nói cà lăm. Mỗi người nói lên một con số. Thử tưởng tượng, 2.600 năm trước đâu có những phương tiện gì để đo đạc như hôm nay.

Vua đã cho người bò lên đến đỉnh tháp nhưng cũng không xác định được chiều cao vì tháp cả bốn mặt đều có độ nghiêng. Nhân nghe tiếng nhà toán học Thales xứ Milet nên vua cho người đi thỉnh cầu ông làm giúp việc ấy. Ông Thales nhận lời. Ông khăn gói đến Ai Cập và được Vua cũng như triều đình tiếp đón long trọng. Rồi Thales hẹn ngay hôm sau sẽ tiến hành công cuộc đo đạc này. Mọi người ai cũng chờ đợi. Tin đồn đi nhanh hơn gió, dân chúng khắp nơi ai cũng tò mò để xem cách đo đạc như thế nào.

Khi đến hẹn, người ta thấy ông Thales chỉ đến một mình mà không có tùy tùng, thợ thầy gì cả. Cũng không thấy mang theo dây nhợ hay thang để leo lên Kim Tự Tháp. Dụng cụ mang theo của ông Thales chỉ vỏn vẹn một cái cọc và cây thước. Mọi

người tỏ vẻ thất vọng, nghĩ rằng ông ta chỉ là kẻ đại ngôn hay bọn phù thủy lường gạt người dân. Nhà vua và quần thần thì yên lặng xem ông ta làm gì để kịp ứng phó.

Mặc họ, ông thản nhiên cắm cọc xuống đất như hình vẽ bên dưới rồi lần lượt đo chiều cao của cái cọc, bóng của cái cọc và bóng của Kim Tự Tháp. Ông dùng thước đo chính xác các khoảng cách x2, y1, y2 như trong hình dưới. Đến đây thì chắc độc giả đã đoán được cách ông Thales tính chiều cao x1 của Kim Tự Tháp ra sao rồi.

Nguồn hình: Internet

Từ hai hình tam giác đồng dạng, ta sẽ có phương trình:

. Từ đó suy ra:

X1 chính là chiều cao của Kim Tự Tháp Ai Cập.

Đọc chuyện của Thales xứ Milet thật hấp dẫn. Nói chuyện toán học mà nghe như Tây Du Ký. Cũng còn có nhiều giai thoại khác về ông nữa nhưng mục đích chính của tôi là muốn nói về một chuyện khác sau đây.

[ 2 ]
Tìm đâu cái “Chân Không, Diệu Hữu” trong Toán Học?

Tuy nhiên, điều tôi thực sự quan tâm về ông Thales chính là ở dưới đây chứ không phải là chuyện đo đạc.

Như chúng ta biết, thời ấy không những người Hy Lạp mà cả Tây phương đều tin rằng mọi hiện tượng trong thiên nhiên, kể cả sự sáng tạo vũ trụ đều là kết quả hành động tùy thương ghét, cảm hứng của thần linh. “Mọi sự vật đều chứa đầy thần thánh” như Thales từng nói. Tất cả mọi triết gia, nhà thần học đều tin như vậy. Thậm chí họ còn cho rằng, thế gian này được tạo ra bởi một “Đấng Tạo Hóa”, mọi sự kiện xảy ra đều được sắp đặt bởi các đấng thần linh. Vậy mà Thales đã suy tư và dám kết luận rằng nước là nguyên lý, là chất cơ bản, là nguyên tố của tất cả: “Không

có gì có thể xuất phát từ không có gì, tất cả xuất phát từ nước và rồi trở lại về nước.”

Thales xứng đáng được tôn xưng là nhà nghiên cứu về thiên nhiên đầu tiên ở Tây phương. Tuy nhiên, theo thiển ý, nhận định của Thales “Tất cả xuất phát từ nước” là một nhận định mới mà cũ. Tại sao?

Mới vì, lời tuyên bố của Thales xác quyết rằng sự vật, rằng các sự kiện xảy ra không phải xuất phát từ những cảm hứng của các đấng thần linh mà do tác động của vật chất. Và cái nguyên tố vật chất ấy – một vật thể - theo ông là nước, xuất phát từ nước, sau đó rồi lại quay về nước. Mới quá đi chứ! Chỉ một sớm một chiều, ở trong thời điểm khoảng 600 năm trước Công nguyên mà có người dám nói không có bàn tay Thánh Thần trong số mệnh con người và vũ trụ.

Cũ vì, cho dù ông Thales đã đưa yếu tố vật chất vào suy tư triết học, nhưng cũng như tất cả những triết gia, nhà siêu hình Tây Phương khác, ông vẫn bám vào tư tưởng một cái “có”, một cái “hiện hữu”. Mãi cho đến thời đại hôm nay ở Tây phương vẫn còn như vậy. Nền triết học Tây Phương đặt nền tảng theo Thần quyền (Thượng Đế), nên tất cả những gì đi ngược lại hệ thống suy tưởng này đều bị chống đối, những người có quan điểm khác có khi bị trừng phạt nặng nề, ví dụ trường hợp bác học Galileo Galilei ở thế kỷ thứ 16.

[Duy chỉ có một ngoại lệ, đến đầu thế kỷ 21 này, nhà vật lý học đại tài người Anh là Stephen Hawking (1942-2018) mới dám tuyên bố rằng, nguyên thủy của vũ trụ là KHÔNG và không phải do Thượng Đế tạo ra. Nhân loại phải chờ đến thế kỷ thứ 21 mới có nhà khoa học Tây phương dám nói như

thế.]

Cũng ngay trong thời điểm của Thales, ngay vào năm 624 trước công nguyên, ở miền thung lũng sông Hằng có một con người trí tuệ vừa ra đời: Thái tử Tất Đạt Đa, con vua Tịnh Phạn và hoàng hậu Ma Gia. Năm 29 tuổi Thái tử rời hoàng cung đi tìm đạo và năm 35 tuổi ngài đắc quả Chánh Đẳng Chánh Giác. Sự kiện hai tư tưởng gia này ra đời trong cùng một năm là một điều thật thú vị. Tôi không nghĩ rằng (và cũng không có tài liệu nào nói vậy) hai bậc hiền tài đã có lúc gặp nhau để hàn huyên. Nhưng cũng trong thời gian ấy, đức Phật cũng đi du hóa trên các vùng đồng bằng thung lũng sông Hằng và giảng dạy về lý duyên khởi, về “có, không” – sắc tức thị không không tức thị sắc.

Một bên nói có, hiện hữu là nước và trở về nước. Một bên nói, có mà không, không mà có – có tức là không, không tức là có. Đây là cuộc đối thoại Đông-Tây. Và đây cũng là điểm căn bản về những nét mâu thuẫn giữa Đông phương và Tây phương.

Ông Thales dù tài tình cách mấy không thể bước qua khỏi lằn ranh tầm nhìn của tư tưởng Tây phương được, là cái “Có”. Ở Đông phương có người cùng thời ông dám nói đến cái “Không”. Nhưng công tâm mà nói cái KHÔNG này cũng đã bao trùm lên trên nhiều nền triết lý của phương Đông. Chỉ có điểm đặc biệt trong giáo lý của Đức Cồ Đàm Gotama là “Vô Ngã”. Cả cái “Ta” cũng không. Vũ trụ là không thì tôi cũng không. Giáo lý này là cái nền cho giáo lý Phật giáo. Giáo lý này đã một thời gây chấn động và khó lòng được chấp nhận trong xã hội Đông phương nói chung và Ấn Độ thời đó nói riêng. Một xã hội đặt căn bản trên tương quan giữa

Đại Ngã và Tiểu Ngã.

Giờ tôi xin phép đi sâu thêm vào một góc độ khác: Xin nói thêm về việc Có và Không này trên nhãn quan toán học. Bởi triết học thì mông lung quá, kẻ lý luận này, người luận lý nọ. Toán học vốn rõ ràng hơn - đối với cái đầu của người bình thường - như một với một là hai.

Rất ít người trong chúng ta, kể cả đến thời điểm hôm nay, có thể hình dung được những sự kiện có ý nghĩa to lớn trong lịch sử nền toán học thế giới này:

a. Con số “zero”

“Trong thế giới toán học, chân không có dạng chính là số 0 (zero). Từ “zero” có nguồn gốc từ Ấn Độ là sunya nghĩa là “trống rỗng” hay “hư vô”. Dịch theo nghĩa đen, sunya sẽ thành sifr tiếng Ả Rập (cũng có nghĩa là “trống rỗng”) và thành zephirum theo tiếng Latin, đó chính là từ đã cho ra đời từ “zero”.

Từ khi cắp sách đến trường, biết học toán của nhà trường mình cứ nghĩ toàn bộ hệ thống toán học học đường xuất phát từ nền văn minh Hy Lạp – La Mã. Điều ấy không đúng hẳn. Đó là kết quả tổng hợp kiến thức từ nhiều nền văn hóa của nhân loại.

b. Số zero chỉ mới chào đời vào thế kỷ 5

Từ khi con người bắt đầu có ý niệm tư hữu là đã có ngay những cuộc trao đổi hàng hóa, dù chỉ là củ khoai trái bắp. Con người phải có cách ghi chú hàng hóa đổi chác, tồn kho, hay để đếm các đàn gia súc. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy những vết gạch trên đá của người tiền sử. Dần dần cũng có những cách ghi chú khác tùy theo các hệ thống khác nhau, ví dụ như qua các ngón trên bàn tay, nhưng chưa có hệ thống mười số. Xưa nhất là ở Ấn Độ, người ta đã thấy các số

1 đến 9 ngay trước Công nguyên. Nhưng phải chờ đến thế kỷ 5 mới có con số zero. Đây là con số quyết định hàng đầu trong hệ thống toán học. Từ đấy toán học mới có hệ thống thập phân mà chúng ta sử dụng mãi cho đến ngày hôm nay.

“Cái Không thể hiện trong thế giới toán học qua số không. Có một điều bí ẩn về vấn đề này đó là: tại sao số không không sinh ra ở phương Tây, bất chấp những tiến bộ to lớn trong toán học của người Hy Lạp, mà lại sinh ra ở phương Đông? Tại sao số không lại gây ra sự sợ hãi đến như vậy trong tư tưởng phương Tây, trong khi lại được chào đón với vòng tay rộng mở bởi tư tưởng phương Đông? Tại sao lại phải chờ đến tận thế kỷ thứ 5, các thiên tài toán học Ấn Độ cuối cùng mới trả cho số không vị trí của một con số đích thực?” (sđd. tr.8).

c. Hệ thống Algorithmus đã có nguồn gốc từ Ấn Độ

Ta cũng không thể hình dung được, người được xem là thủy tổ của Toán học Đại Số (algorithmus) là nhà toán học Ả Rập, gốc Ba Tư Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (khoảng 780-850) chính là người đầu tiên mang con số “zero” từ Ấn Độ sang Tây Phương. Từ khi có số “zero” thì Toán Đại Số (Algorithmus) mới thành hình. Xin nói rõ, không phải ông al-Khwarizmi phát minh ra số zero mà là ông tìm được trong sách của Ấn Độ con số này và cả hệ thống thập phân, đặt nền tảng cho hệ thống toán đại số. Ông ta chỉ tìm hiểu và công bố các kiến thức ấy ra.

Thời kỳ này là thời kỳ đế quốc Hy Lạp phải nhường bước cho đế quốc Ả Rập. Bắt đầu từ năm 751 lãnh thổ đế quốc Ả Rập đã vô cùng hùng mạnh, trải dài trên một diện tích rộng lớn

từ Tây Ban Nha cho đến Ấn Độ. Vào năm 773 người Ấn Độ mới đệ trình tới Bagdad hệ thống tính toán và các con số của họ. Theo đó, nhà toán học Ả Rập Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi học theo cách tính toán này và viết một cuốn sách nổi tiếng mang tên “Sách về phép Cộng và Trừ theo tính cách của người Ấn Độ - kitāb al-ḥisāb al-hindī”.

Sau đó, tên của ông, Al-Chwarizmi được viết lại theo tiếng La tinh là Algoritmi. Do vậy bây giờ ta mới có chữ Algorithmus, tức đại số học. Sự kiện này không biết vô tình hay hữu ý mà không được nhắc đến. Kể cả cuốn sách của ông Al-Chwarizmi bằng tiếng Ả Rập giờ cũng đã biến mất. May mắn là bản tiếng La tinh hiện nay còn lưu giữ tại nhiều thư viện trên thế giới.

Nhà Thiên văn học Trịnh Xuân Thuận đã viết:

“Theo thời gian, nguồn gốc Ấn của hệ đếm có số không đã phai mờ trong trí nhớ của mọi người. Các chữ số Ấn Độ dần dần trở thành cái gọi là chữ số Ả Rập. Thế nhưng cần phải trả lại cho người Ấn những gì của họ: một hệ đếm theo vị trí tuyệt vời chỉ dựa trên 10 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có thể biểu diễn mọi con số, điều này đã cho phép xóa bỏ khoảng cách giữa cách viết và tính toán.”

Kể từ thời điểm Al-Chwarizmi công bố cuốn sách này, toán học mới có đủ bốn phép tính: cộng, trừ, nhân, chia và hệ thống thập phân theo kiểu của người Ấn Độ như chúng ta thấy ngày hôm nay. Chúng ta thử tưởng tượng, trong cái ngày ấy các hệ thống ngân hàng, các cơ xưởng đã vui mừng như thế nào khi hệ thống này thành hình.

Một lần nữa nhìn về quá khứ. Căn cứ vào các công trình đào bới khảo cổ ta biết

rằng người thượng cổ đầu tiên chỉ biết đếm một và nhiều (1 và >1). Dần dần phát triển một số hệ thống đếm và tính toán khác nhau. Có hệ thống 3 đơn vị, có hệ thống 5 đơn vị v.v... Trong đó có cả hệ thống 60 đơn vị mà ta còn dùng đến hôm nay, đó là các đơn vị đồng hồ. Hiện nay còn 2 hệ thống phổ biến là hệ thống theo chữ La Mã dựa theo mẫu tự (I, II, III, IV…) và hệ thống Ả Rập theo 10 con số từ 0 đến 9. Hệ thống thập phân với các số Ả Rập còn mang đặc điểm là rất hữu lý khi viết số: các số có trị càng lớn số sẽ càng dài hơn. Ví dụ số 10 sẽ phải ngắn hơn số 1000 (vì 1000 lớn hơn 10 nên có 4 ký hiệu, số 10 chỉ có 2). Trong khi hệ thống số viết bằng ký hiệu chữ không được như vậy, ví dụ số 18 = XVIII (5 ký hiệu) viết dài hơn số 1005 = MV (2 ký hiệu).

Một câu hỏi đặt ra cho chúng ta tại đây ngay bây giờ là, tại sao Tây phương sợ số không? Nhà khoa học, thiên văn học Trịnh Xuân Thuận trả lời giúp chúng ta:

“Câu trả lời có lẽ nằm trong nỗi sợ hãi siêu hình đối với con số này. Đối với các nhà toán học Hy Lạp, ngay ý tưởng về số không đã bị ghét cay ghét đắng, bởi vì làm thế nào “không có gì” lại có thể là “cái gì đó” chứ? Đầu tiên số không khơi dậy trong họ ý tưởng về sự khởi đầu của vũ trụ, tức là sự trống rỗng và hỗn độn nguyên thủy, và điều này đã gây ra nỗi khiếp sợ.” (Sđd. tr.32).

d. Triết lý các phép toán với số Zéro (hay Nghĩa lý Chân không)

Như vậy con số 0 (zero) thật vô cùng quan trọng, có thể nói

là quan trọng bậc nhất. Không những nó đã khơi mào cho một hệ thống toán học là các phép tính số, mà còn hàm chứa một triết lý siêu việt. Nó mở ra một số nhận định mới.

- Tây phương hiểu (qua định đề Archimedes) rằng cộng một số với chính nó thì sẽ tăng lên. Ví dụ 2 + 2 = 4; 4 + 4 = 8. Do vậy, buổi đầu Tây phương sợ hãi số không vì nó sẽ làm đảo lộn mọi tư duy của họ: Một số cộng với số không thì vẫn là số đó. Ví dụ: 2 + 0 = 2. Đây là một phủ định, từ chối làm thay đổi con số trong phép cộng. Phép trừ cũng tương tự như vậy.

- Nếu ta lấy một con số nhân lên (do tham lam) với số không thì kết quả sẽ thành không. Ví dụ: 999 x 0 = 0

- Trong phép chia với số không sẽ dẫn tới vô cùng (vô cực). Ví dụ 999/0 = ∞

- Nếu đem chia một số, dù lớn bao nhiêu cho vô cực thì sẽ thành không. Ví dụ: 999/ ∞ = 0

Giáo sư Trịnh Xuân Thuận nói thêm: Khái niệm zero ngày nay đã rất quen thuộc với chúng ta, tuy nhiên không phải luôn là như thế. Từ lâu, đối với một số xã hội cổ xưa ở phương Tây, nó thể hiện một ý niệm nguy hiểm và đáng sợ, có thể làm phương hại đến cấu trúc của suy luận logic và do đó có thể làm lung lay chính các nền tảng của cả xã hội. (sđd)

[ 3 ]
Chỉ có nước thôi sao?

Khi Thales nói tất cả xuất phát từ nước và rồi trở lại về nước chắc hẳn ông đã nghĩ về một trạng thái hiện hữu rồi sẽ quay về hiện hữu, vật chất quay về vật chất, hữu thể quay về hữu thể. Khái niệm này hoàn toàn khác với ý niệm chân không, diệu hữu trong

Phật Giáo. Nó cũng hoàn toàn khác với quan điểm âm và dương (hay số 0 và số 1) trong triết học Á Đông. Phật Giáo hiểu chân không là thể mà diệu hữu là dụng. Thể và dụng đồng thời hiện hữu, không thể phân chia. Thuật ngữ nhà Phật gọi là “tự tánh bất nhị”.

Chỉ vào cái bàn, cái ghế tôi đang ngồi đây, tôi tìm đến hỏi triết gia Thales thì tiên sinh nói: “Nếu không cái “Có” thì làm sao có mặt cái bàn, cái ghế này cho anh bạn ngồi, sao hỏi lôi thôi – chẳng lẽ anh đang ngồi trên không khí với cái Laptop cũng đang bay lơ lửng hay sao?”

Tôi tìm đến hỏi Ngài Long Thọ thì Bồ Tát bảo tôi: “Không” là nguồn gốc của muôn vật.

Nhất thiết hữu vi pháp,
Như mộng, huyễn, bào, ảnh,
Như lộ diệc như điển,
Ưng tác như thị quán.

Tất cả pháp hữu vi,
Như mộng, huyễn, bọt, bóng,
Như sương, như chớp loé,
Hãy quán chiếu như thế.

(Kinh Kim Cang)

Nói thật, trí óc tôi, vốn đã lờ mờ thì bây giờ lại thêm lơ mơ. Nhưng, tôi nghe ra hình như có tiếng nước reo vui chảy róc rách trong từng tế bào thần kinh hệ. Tiếng dòng suối nước nối liền Đông-Tây, Âu-Á.

Lại xin hỏi thêm: Thế gian này có nhà toán học nào lập nổi một phương trình để giải bài toán: Có bao nhiêu hạt cát ở sông Hằng không? Vì đọc kinh Phật cứ nhắc hoài chữ “Hằng Hà Sa”. Cát sông Hằng nằm ì đó mà còn không biết được huống chi là nước, nước đi nước về. Khó lắm, vì nước có khi là chất lỏng nhưng có khi biến đổi sang băng đá, mây, mưa…

Tóm lại, cái con số KHÔNG to tướng đã đứng sừng sững đó từ khi có sự sống, nhưng mãi đến thế kỷ 5 con người ta mới thấy (ngộ) ra đó thôi. Ngày xưa người thượng cổ đã biết đếm con số lớn hơn số

1 (n>1). Bây giờ ta thử tập đếm các số lớn hơn số không (n>0) của cuộc đời này đi (xin lưu ý: n>0; không phải n>1).

Rồi, giống như khi xưa trong trường học làm toán chạy, nếu có người giải giúp được bài toán hóc búa trên xong thì xin giải giúp bài toán khó hơn: Có số nào là số nhỏ hơn số không (n<0) không?

Một lần nữa lại phải ngồi xuống lật trang Kinh Kim Cang ra đọc: Như mộng, huyễn, bọt, bóng; Như sương, như chớp loé; Hãy quán chiếu như thế!